Теорема 6. Алгебра многочленов <K[x], +, ґ > , с коэффициентами из кольца K образует кольцо.

g 1. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)

Ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и дистрибутивные законы непосредственно вытекают из введенных нами операций над многочленами.

2. - называют нулевым многочленом, легко проверить, что , т.е. - выполняет роль нулевого элемента в алгебре K[x] .

3. f(x)=(-a _n )x ⁿ +...+(-a ₁ )x+(-a ₀ )=-f(x) – называют противоположным многочленом для многочлена f(x) , он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то <K[x],+,ґ > - кольцо, которое обозначают K[x] и называют кольцом многочленов над кольцом K .

Теорема 7. Если K область целостности, то K[x] тоже область целостности.

Для доказательства этой теоремы введем понятие степени многочлена.

Степенью многочлена f(x) называется максимальный показатель степени x с коэффициентом отличным от нуля. Обозначение: deg f(x)=n, где a _n№ 0 .

Степень многочлена обладает свойствами:

deg (f + g) Ј max (deg f, deg g); deg (fg) = deg f + deg g , если K – область целостности. Доказательство свойств степени многочлена осуществляется на основе двух аргументов: во-первых, на основании выполнения операций; во-вторых, на основании целостности K.

Приступим к доказательству теоремы. Требуется проверить выполнимость: (1) коммутативности умножения и (2) отсутствие делителей нуля.

1. коммутативность умножения следует из определения умножения многочленов над областью целостности, где умножение элементов коммутативно.
2. f(x)№ , deg f(x)=nі 0, g(x)№

deg (f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)= n+m і 0 Ю deg (fg) = n+m і 0 Ю $ c _{n+m №} 0 Ю (fg)№ , это и доказывает отсутствие делителей нуля в K[x] , где K – область целостности.

Пусть возникла ситуация, где требуется многочлен f(x) = a _n x ⁿ +...+a ₁ x+a ₀ разделить на двучлен (x-a) . Это можно сделать с помощью алгоритма, который принято в математике называть схемой Горнера. Построим этот алгоритм.

f(x) = (x-a)g(x)+r(x), где f(x) = a _n x ⁿ +...+a ₁ x+a ₀ , g(x)= b _n x ⁿ +...+b ₁ x+b ₀ .

Воспользуемся свойством степени, получим:

deg (x-a)g(x)=deg (x-a)+deg g(x) . Из этих равенств можно сделать вывод, что m=n-1 , deg r(x)=0 , т.е. r(x) – число, т.е. a _n x ⁿ +a _n-1 x ^n-1 +...+a ₁ x+a ₀ =(x- -a)b _n x ⁿ +...+b ₁ x+b ₀ +r . Раскроем скобки справа и приравняем коэффициенты многочленов. Для удобства одновременно воспользуемся схемой.

Введем понятие корня многочлена.

Определение 8. Число x=a называется корнем многочлена f(x) , если значение многочлена f(a) равно нулю.

Рассмотрим теорему Безу о делении многочлена на двучлен (x-a).

Теорема 9. (Безу) Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

g f(x), (x-a ). Поделим, f(x)=(x-a)g(x)+r , мы установили, что r – число. Подставим x=a в равенство, получим f(a)=0g(a)+r , откуда вытекает утверждение теоремы f(a) = r .

Из теоремы вытекает следствие: f(x)M (x-a) Ы x=a корень уравнения.

Ю f(x) M (x-a) Ю f(x)=(x-a)g(x)+f(a) (по теореме Безу), f(a)=0 Ю x=a корень f(x)

Ь Пусть x=a корень многочлена, т.е. f(a)=0 Ю f(x)=(x-a)g(x) (по теореме Безу), т.е. f(x) M (x-a).

В алгебре многочленов имеют место две взаимно пересекающиеся, взаимно дополняющие линии. Это вопросы существования и количества корней многочлена и разложение многочлена на неприводимые множители.

В вопросе представлено решение этих аспектов для кольца многочленов над полем комплексных чисел, т.е. для кольца C[x] , где C – поле комплексных чисел.

Итак, пусть P – поле.

Определение 1 . Поле P называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени имеет в этом поле корень. Алгебраической замкнутостью обладает поле C , это решается основной теоремой алгебры.

Теорема 2. Любой многочлен положительной степени из кольца C[x] обладает по крайней мере одним корнем. Примем эту теорему без доказательства в силу того, что она требует предварительного доказательства ряда теорем из математического анализа.

Из основной теоремы алгебры вытекает ряд следствий, их и рассмотрим.

Следствие 3. Неприводимым над полем C многочленом является многочлен только первой степени.

Для доказательства этого утверждения введем определения приводимого и неприводимого многочлена. Многочлен f(x)О P[x] называется приводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени. В противном случае многочлен называется неприводимым.

Приступим к доказательству следствия 3.

Пусть дан f(x)О C[x]. Пусть он приводим. Покажем, что

1. рассмотрим f(x)=a ₁ x+a ₀ , degf(x)=1 . Предположим, что f(x) – приводим. Тогда по определению приводимого многочлена f(x)=f ₁ (x)f ₂ (x) , где degf ₁ (x)>0 , degf ₂ (x)>0. Однако по условию degf(x)=1=1+0=0+1 , то есть degf ₁ (x)=0И degf ₂ (x)=0 , что противоречит свойству степеней. Полученное противоречие и доказывает неприводимость многочлена ( а ₁ х+а ₀ ).

Пусть deg f(x)>1 , тогда по основной теореме алгебры он обладает корнем. Пусть таким корнем будет х=а . По следствию из теоремы Безу: f(x)=(x-a)f ₁ (x) . Так как deg(x-a)=1, degf(x)>1, deg(x-a)f ₁ (x)=deg(x-a)+degf ₁ (x) , то degf(x)>0 ; то есть f(x) – приводим, что противоречит условию. Таким образом, неприводимым над полем С является только многочлен первой степени.

Следствие 4 . Если f(x)О C[x], degf(x)=nі 1 , то его можно представить в виде:

с(x-a ₁ )(x-a ₂ )...(x-a _n ), (*)

где a _i – корни его, а сО С.

g Пусть f(x)=c ₁ x+c ₀ =c ₁ =c ₁ (x-a ₁ ), где , то есть для многочлена f(x) утверждение верно: он представляется в виде (*) и а ₁ – корень его, а с ₁ – старший коэффициент.

Далее, проведем доказательство методом математической индукции. Пусть теорема верна для многочлена степени меньшей или равной ( n-1 ), то есть

f(x)=c(x-a ₁ )...(x-a _n-1 ) , где a ₁ , a ₂ , ..., a _n-1 – его корни, а с – старший коэффициент.

Пусть f(x) – неприводим, а это возможно только для n=1 , для этого случая теорема верна. Либо f(x) – приводим, тогда f(x)=g(x)h(x) , где степени g(x) и h(x) меньше n , для них теорема верна. В силу свойства степени f(x)=c(x-a ₁ )...(x-a _n ), то есть множителей будет ровно n . По следствию из теоремы Безу а _i – корни f(x) , если расткрыть скобки в правой части и воспользоваться равенством многочленов, то с – старший коэффициент f(x) . Теорема доказана.

Из этого в следствии с необходимостью вытекает еще два.

Следствие 5. Количество комплексных коней многочлена f(x)О C[x] совпадает с его степенью.

Следствие 6. Любой многочлен f(x)О C[x] положительной степени n можно представить в виде:

f(x)=c(x-a ₁ )a ₁ (x-a ₂ )a ₂ ...(x-a _k )a _k , где a ₁ +...+a _k =n, a _i – его корни. Такое представление носит название канонического. Возможность такого представления вытекает из следствия (4) и допустимости повторяющихся корней, то есть кратных корней многочлена.

В теории многочленов над С имеет место теорема, устанавливающая связь между корнями многочлена и его коэффициентами.

Теорема 7 . Пусть f(x)О C[x], degf(x)=n, a _n =1 (то есть f(x) – нормирован), тогда как известно, f(x)=(x-a ₁ )(x-a ₂ )...(x-a _n ), где имеет место соотношение:

а ₀ = (-1) ⁿ a ₁ a ₂ ... a _n ;

эти соотношения называются формулами Виета. Однако, справедливости ради, надо отметить, что Виет нашел эту зависимость только для случая положительных корней, в общем виде эта теорема установлена А. Жирарое.

В алгебре имеет место теория многочленов. Многочлен введен по определению как выражение f(x)=a _n x ⁿ +a _n-1 x ^n-1 +...+a ₁ x+a ₀ , где a _iО K – кольцо , x ⁰ =1, 1·x= x . Введение операций “+” и “ґ ” многочленов позволило построить алгебру многочленов, которой является кольцо многочленов над кольцом К и обозначается К[x] . Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца К взято поле. Такими числовыми полями являются C, R, Q .

В силу существования операции деления в поле, стало возможным рассматривать два взаимосвязанных вопроса в теории многочленов: корни многочлена и разложение многочлена на неприводимые многочлены.

Рассмотрим решение этой проблемы для кольца многочленов над R.

Теорема 1. Комплексные корни f(x)О К[x] , то есть с действительными коэффициентами попарно сопряженными.

n Пусть f(x)О К[x] , и пусть z=a+bi; a,bО R комплексное число, являющееся корнем f(x) , причем degf(x)і 2 в противном случае f(x) комплексных корней иметь не может. Покажем, что = a–bi , b№ 0 тоже является корнем f(x).

f( )=a _n ⁿ +a _n-1 ^n-1 +...+a ₁ +a ₀ = (воспользуемся свойством сопряжения) = = , то есть является корнем f(x) , что и требовалось доказать.

Рассмотренная выше теорема позволяет доказать теорему о неприводимом многочлене из R[x] . Напомним определение приводимого и неприводимого многочленов.

f(x) называется неприводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени и неприводимым, если этого сделать нельзя.

Рассмотрим f(x)= a ₁ x+a ₀ , a _iО R . его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени в силу того, что 1=1+0=0+1 .

Решать будем вопрос о приводимости и неприводимости многочлена f(x)О R[x] степени большей или равной 2.

Теорема 2. Неприводимый многочлен f(x)О R[x], degf(x)=nі 2 ассоциирован с многочленами (x-a) ² +b ² ,где x=a+bi комплексный его корень.

n Пусть f(x)О R[x], degf(x)=nі 2 , пусть x=a+bi, b№ 0 – корень f(x) , он неприводим.

Прежде всего отметим, что у такого многочлена нет действительных корней, иначе бы f(x)=(x-a) f ₁ (x) (следствие из теоремы Безу), что противоречило бы его неприводимости.

По теореме о сопряженности мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами f(x) обладает еще одним корнем x ₂ =a–bi , где x ₂ = .

Рассмотрим (x-x ₁ )(x-x ₂ )=(x-a) ² +b ² . (*)

Разделим f(x) на многочлен (*), получим:

1. f(x)=[(x-a) ² +b ² ]g(x)+r(x).

Так как степень делителя равна 2, то degr(x)<2 , то есть r(x)=cx+d . Подставим в (1) x1=a=bi и x ₂ =a-bi, мы получим:

Так как b№ 0 , то c=0 , тогда d=0 , то есть r(x)=.

Это означает, что f(x)M (*). Но f(x) – неприводим, потом deg g(x)=0 , то есть g(x)О R . Что и подтверждает ассоциированность f(x) и (*).

Теорема 3. Рассмотренная выше теорема позволит сделать ряд выводов:

1. Неприводимыми многочленами над R могут быть многочлены не выше второй степени.
2. Многочлен f(x)О R[x], degf(x)і 1 может быть представлен в виде:

, где если среди корней есть кратные, то можно представить и в виде (*):

, где S _i – кратности корней, а t _j – кратности сопряженных мнимых его корней. Представление (*) называется каноническим представлением f(x).

Теорема 4. Теоремы (1), (3) позволяют сделать с очевидностью вывод о том, что четность действительных корней совпадает с четностью его степени.

Вопрос 13. Кольцо многочленов над полем рациональных чисел (Q).

Теория многочленов утверждает, что множество многочленов f(x) = a _n x ⁿ + …+ a ₁ x + a ₀ ,

где a _i ∈ K – кольцо, x ⁰ =1, x∈K, 1∙x=x с операциями сложения и умножения образуют кольцо многочленов над кольцом K и обозначают K [ x ].

Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца K рассматривается поле P . В силу того, что в поле P есть операция деления, становится возможным построить теорию корня многочленов и теорию приводимых и неприводимых многочленов. Рассмотрим, как решается эта проблема в Q [ x ].

Напомним, что корнем f(x) называется такое число x = a , что f(a) = 0 .

f(x) называется неприводимым, если его нельзя представить в виде двух многочленов меньшей положительной степени, в противном случае его называют приводимым.

Итак, пусть Q [ x ], f(x)∈ Q [ x ], где f(x) = a _n x ⁿ + …+ a ₁ x + a ₀ …(1), сформулируем и докажем теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если многочлен имеет рациональные коэффициенты, то он легко преобразуется к ему ассоциированному с целыми коэффициентами. Поэтому теорию существования и нахождения корней f(x)∈ Q [ x ] рассматривают именно для такого варианта, т.е. f(x)∈ Q [ x ], а a _i ∈ Z.

Теорема 1: Если ∈Q , где (p,q)=1, является корнем многочлена (1)… f(x) = a _n x ⁿ + …+ + a ₁ x + a ₀ , a _i ∈ Z , то p является делителем свободного члена, а q -делителем старшего коэффициента a _n .

Если Q корень f(x) , то f =0. Подставим в (1) вместо x , получим

0= a _n + …+ a ₁ + a ₀ , приведём к общему знаменателю, получим

Преобразуем (2) :

2.1 : 0 = a _n p ⁿ + q(a _n-1 p ^n-1 +…+ a ₁ p q ^n-2 + a ₀ q ^n-1 ) ⇒ a _n p ⁿ + q Q ∶ q, qQ ∶ q

⇒ a _n p ⁿ ∶ q, (p,q)′→ a _n ∶ q , т.е. q- делитель старшего коэффициента;

2.2 : 0 = p(a _n p ^n-1 +…+ a ₁ q ^n-1 ) + a ₀ q ⁿ ) ⇒ pQ + a ₀ q ⁿ ∶ p, pQ ∶ p, ⇒ a ₀ q ⁿ ∶ p, (q,p)=1 ⇒ a ₀ ∶ p, т.е. p -делитель свободного члена, что и доказывает теорему.

Следствие 2: Если f(x)∈ Q [ x ], а a _i ∈Z , a _n = 1 , то он обладает только целыми корнями, которые находятся среди делителей свободного члена.

Истинность этого утверждения очевидна в силу того, что a _n = 1, а делители 1 являются только ±1, следовательно, q= ±1 и ∈Z . Т.к. = ± p∈Z находятся среди делителей, то утверждение верно.

Решим проблему неприводимости многочлена из Q [ x ], вернее о степени такого многочлена.

Решение этой проблемы предложено Эйзенштейном и носит название критерий Эйзенштейна о неприводимости многочлена в Q [ x ]. Заметим, что решение этой проблемы тоже есть смысл рассматривать для f(x)∈ Z [ x ], поскольку Q является полем частных области целостности Z .

Теорема 3: Пусть f(x)= c _n x ⁿ + …+ c ₁ x + c ₀ , c _i ∈Z . Пусть все коэффициенты f(x) , кроме старшего, делятся на p ² . Тогда f(x) неприводим в Z [ x ].

Доказательство проведём методом от противного.

Пусть f(x)∈ Q [ x ] или f(x)∈ Z [ x ] приводим, т.е. существуют такие g(x), h(x)∈ Z [ x ], что

f(x) = (a ₀ +…+a _k x ^k )(b ₀ +…+ b _m x ^m ) = g(x)·h(x), (a _k ≠ 0, b _m ≠ 0, k + m = n, причем 1≤ k, m < n).

Тогда c ₀ = a ₀ ·b ₀ , c _n = a _k ·b _m . Так как c ₀ ∶ p, c ₀ не∶ p ₂ , c ₀ = a ₀ ·b ₀ ⇒ a ₀ не∶ p Λ b ₀ не∶ p ; пусть a ₀ ∶ p,

b ₀ не∶ p . Так как c _n не∶ p , то a _k не∶ p, b _m не∶ p, тогда у g(x) есть коэффициент делящийся на p и неделящийся на p . Пусть a _s коэффициент g(x) с наименьшим s таким, что a _s не∶ p, т.е. a ₀ , a ₁ , …, a _s-1 ∶ p, а a _s не∶ p .

Найдем c _s = a _s b _s + (a _s-1 b ₁ + a ₀ b _s ) (s<n), т.к. a _s не∶ p, b ₀ не∶ p, то a _s b ₀ не∶ p, число (a _s-1 b ₁ + a ₀ b _s ) ∶ p, по свойству делимости в кольце Z, c _s не∶ p, s<n, а это противоречит условию. Получено противоречие в силу предположения, что f(x) - приводим. Что и доказывает теорему о неприводимости f(x) .

Следствие 4 : Если p – простое число и n – любое целое положительное число, то многочлен x ⁿ -p неприводим в Q [ x ].

Теорема 3 и следствие 4 позволяют сделать вывод о том, что в Q [ x ] существуют неприводимые многочлены любой степени. Поэтому решение проблемы нахождения корней f(x) и разложения его на неприводимые многочлены затрудненно и требует в каждом конкретном случае особого подхода.

Пусть дано поле P . P[x] - кольцо многочленов от одной переменной над полем P . Обратимся к понятию алгебраической замкнутости поля P . Напомним, что поле Р называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен f(x)О P[x] обладает хлтя бы одним корнем. Введем такое понятие: элемент a О Р называется алгебраическим над полем Р , если существует f(x)О P[x] , для которого a является корнем.

Пусть дано поле Р и a П Р , a О F – поле.

Определение 1. Простым расширением поля Р с помощью элемента a называется наименьшее подмножество поля F , содержащее Р и a . Простое расширение поля Р с помощью a О F обозначается Р(a ) .

В вопросе решается проблема о строении Р(a ) и возможности применения этой теории для освобождения знаменателя дроби от алгебраической иррациональности. Для решения обозначенной проблемы рассмотрим Р[a ]={f(a )/f(x)О P[x]} , где Р[a ]={a ₀ +a _1a +...+a _na ⁿ /a _iО P, nО N} .

Легко проверить, что Р[a ] подкольцо поля Р(a ) .

Теорема 2. Пусть Р[x] – кольцо над Р , Р(a ) – простое расширение Р с помощью элемента a . Пусть y : Р[х] на Р[a ] – отображение такое, что y (f(x))=f(a ) . Тогда:

1 ⁰ . " aО P, y (a)=a ;

2 ⁰ . y (x)=a ;

3 ⁰ . y – гомоморфизм и эпиморфизм;

4 ⁰ . Ker y ={f(x)О Р[x]/ f(a )=0О Р[a ]};

5 ⁰ . Фактор-кольцо Р[х]/Ker y изоморфно кольцу Р[a ].

n 1 ⁰ и 2 ⁰ следуют из определения y .

3 ⁰ : y (f(x)+g(x))= f(a )+g(a ), y (fg)=f(a )g(a ), y (1)=1, это проверяется непосредственно, поэтому y – гомоморфизм; " f(a )О Р[a ], $ f(x)О Р[x], y (f(x))=f(a ) Ю y – эпиморфизм.

4 ⁰ : следует из существования Ker f для гомоморфизма и из определения y .

Рассмотрим 5 ⁰ . Так как Ker y – идеал Р[х] , то становится возможным Р[х] факторизовать, получить Р[х]/Ker y , тогда по основной теореме об эпиморфизме колец Р[х]/Ker y є Р[a ].

e : Р[x]® Р[x]/Kery , e (f(x))=Kf(x).

j : Р[x]/Kery ® Р[a ], где

j (Kf(x))=f(a )Ю j – изоморфизм.

Следствие 3. Если a - трансцендентный элемент над полем Р , то Р[х]@ Р[a ] .

n В силу трансцендентности a над Р , Kery ={0} и Р[x]/{0}@ Р[a ], кроме того e – изоморфизм, то есть Р[x]/{0}@ Р[x] следовательно, Р[x]@ Р[a ].

Определение 4. Пусть Р[х] – кольцо многочленов над полем Р . Пусть a – алгебраический элемент над полем Р . Минимальным многочленом * a над Р называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого a является корнем.

Обозначим минимальный многочлен для a над Р через g(x) , deg g(x)=n называют степенью алгебраического элемента a над Р.

Легко показать:

1. g(x) существует для каждого алгебраического элемента;
2. g(х) – неприводимый многочлен в Р[х] над Р ;
3. g(x) для a определяется однозначно.

1. – вытекает из определения алгебраического элемента.
2. – из определения минимальности g(x) .
3. – из предположения, что существует два многочлена * g и h и их неприводимости, они ассоциированы, а так как они неприводимы, то g(x)=h(x) .

Теорема 5. Пусть a алгебраический элемент степени n над Р (a П Р ) и g(x) – его минимальный многочлен степени n , тогда имеют место:

1 ⁰ . Если f(a )=0 , где f(x)О Р[х], то f(x)M g(x) ;

2 ⁰ . Р[х]/(g(f))@ Р[х] ;

3 ⁰ . Р[х]/(g(f)) – поле;

4 ⁰ . Р[a ]=Р(a ).

n Пусть a корень f(x) , то есть f(a )=0 , известно, что g(a )=0 , тогда (f,g) либо 1, либо нет. Первое невозможно, так как по известной теореме f(x)M (x-a ) и

g(x)M (x-a ) . Следовательно, (f,g)№ 1 , то есть они не являются взаимно простыми, поэтому f(x) делится на g(x) .

Зададим гомоморфизм y : Р[х]® Р[a ], y (f(x))=f(a )Ю Ker y ={f(x),f(a )=0} состоит из многочленов, делящихся на g(x), поэтому Ker y =J=(g(x)) – идеал Р[х]Ю Р[х]/(g(x)) @ Р[a ] (*), так как Р[a ]М Р(a ) , то Р[a ] – область целостностиЮ Р[х]/(g(x)) в силу (*) тоже область целостности. Покажем, что любой элемент из Р[х]/(g(x)) ненулевой обратимый.

Пусть смежный класс, , то f(a )=0 , тогда f(x) не делится на g(x)Ю ( f(x),g(x))=1Ю , но Ю Ю , что и требовалось доказать, то есть Р[х]/(g(x)) – поле, а так как эта алгебра изоморфна Р[a ] , то Р[a ] тоже поле являющееся подполем поля Р(a ) . Но Р(a ) минимальное подполе поля F , следовательно, Р(a ) М Р[a ] , откуда получаем, что Р[a ]=Р(a ) .

Эта теорема позволяет установить строение простого алгебраического расширения Р(a ).

Пусть a - алгебраический элемент над P , а Р(a ) – простое алгебраическое расширение P , пусть степень a равна n>0 . Тогда

Теорема 6. Любой элемент поля Р(a ) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1,a ,...,a ^n-1 с коэффициентами из P .

Рассмотрим N – натуральные числа. Введем понятие простого и составного числа.

Опр.1 N ' а называется делящимся на число вО N , в > 0, если существует такое число с, что а = вс, при этом а – делимое, в – делитель, с – частное.

Все натуральные числа, в связи с отношениеми делимости на , разбиваются на группы: { 0} , { 1} , { р ₁ , р ₂ ,…,…} , { а ₁ , а ₂ ,…} , где 1 обладает только один делитель, р _i – двумя, а для а _i существует более двух.

Опр.2 Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно два различных делителей. (1 и само число р), составным, если имеет более двух делителей.

Введенное определение позволит выражать числа натуральные через простые. Это описывается теоремой, которую называют основной теоремой арифметики.

Теорема. 3 Любое n О N , n > 1 можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел с точностью до перестановки сомножителя.

В теореме содержится две теоремы: о существовании разложения и его единственности.

(7) Пусть n О N , n > 1. Для доказательства исследуем метод математической индукции.

n = 2, 2 – простое число, следовательно n = 2 и есть его разложение.

Предположим, что для любого натурального числа, меньшего n, теорема верна и докажем для n.

Пусть дано натурально n, если оно простое, то это и есть его разложение. Если n составное, тогда n = вс, где в,с О N и меньше n. По предположению индукции разложение их на простые множители существует, поэтому оно существует и для n. На основании принципа математической индукции, можно утверждать истенность теоремы для любого n О N , n > 1.

(!) Докажем единственность разложения на простые множетели методом математической индукции.

n = 2, 2 = 2. Разложение единственное.

Допустим, что для любого числа натурального, меньшего n утверждение справедливо и докажем для n. Если n простое число, то это и есть его разложение и оно единственно. Если n составное, то оно допустит разложение на простые числа. Предположим, что таких разложений оказалось два: n = p ₁ p _{2 ј} p _к = q ₁ q ₂ ^… q _s (1). Из равенства (1) видно, что “правая часть” делится на p ₁ . А т.к. в “правой части числа простые”, то

1. существует число q _i , которое делится на p ₁ ;

(p ₁ , q _i ) = 1. Следовательно, p ₁ = q _i . Пусть q _i = q ₁ , разделим обе части равенства (1) на p ₁ , получим, что и “левая часть” и “правая часть” числа натуральные, меньше n, а для них разложение единственное с точночтью до перестановки сомножителя. Поэтому при соответственно мы получаем, что n = p ₁ p _{2 ј} p _к – разложение n и это разбиение единственное. Что и требовалось доказать.

Если среди простых множителей окажутся равные, то их объединяют в степень и получают представление n О N в виде: , которое называют каноническим разложением натурального числа.

В теории натуральных чисел имеет место теорема, решающая вопрос о количестве простых чисел во множестве N .

Теорема 4. (Евклида) Множество простых чисел в N бесконечно.

Проведем доказательство методо от противного.

Пусть простых чисел конечное число: p ₁ p _{2 ј} p _к . Рассмотрим N = p ₁ p _{2 ј} p _к+1 . Исследуем полученное число:

1) N > 1 = > оно простое или составное; N № p _i , i = 1, к ;

2) N p _i , , i = 1, к = > , т.к. при делении на p _i получен остаток 1;

2. N – составное. Если N составное, то ему надлежит делиться на 1, N и еще на какое-нибуть простое число (см. ниже), но это не так, поэтому N не является составным. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Пусть n О N имеет делители, отличные от 1. Обозначим тот делитель, который будет наименьшим среди всех делителей. Пусть это натуральное число к, т.е. n = к ^. m; к, m О N , к > 1. Исследуем к.

Если к = p – простое число, то теорема верна.

Если к – составное число, то к = к ₁ m ₁ , тогда n = к ₁ (m ₁ m), n к ₁ , к ₁ < к, что противоречит выбранному наименьшему значению. Это и доказывает теорему.

Достаточно часто в математике приходитс для числа а О N выяснять, является оно простым или составным. Для решения подобных задач предложен способ, носящий название “решето Эратосфена…” или способа отсеивания чисел кратных 2,3,…,p,… .

Опишем этот способ.

Если даны числа натурального ряда: 1,2,3,4,5,…,n, то для установления какими они являются: простыми или составными, поступают так: вычеркивают 1,2 и каждое второе, ибо каждое второе начинается от 3, делится на 2, поэтому является составным. Затем повторяем эту процедуру для 3. 3 вычеркивается и каждое третье, ибо 6 – третье по счету за 3, делится на 3. названную процедуру повторяют до простого числа с не превосходящего . Оставшиеся числа являются простыми.

Такой алгоритм можно использовать и для установления чисел в промежутке от n ₁ до n ₂ .

Опишем его спецификацию . Если надо установить какие числа в промежутке от n ₁ до n ₂ являются простыми, то поступим так:

1. выясним простое или составное является число n ₁ :

1. Проверим его делимость на 2,3,5,…p ≤ . Если оно не делится на эти простые числа, то оно простое;
2. Если оно делится хотя бы на одно из этих чисел, то оно составное.

1. при выяснении простого числа n, одновременно поступаем так:

не вычеркнутому числу и исследуют его делимое на 5;

2.4.2. если n ₁ = 3q + r, то в зависимости от r = 1 или r = 2, добавляем 1 или 2 и

n ₁ + 1, n ₁ + 2.

И любое третье по счету и т.д.

2.5 Если n ₁ оказалось простым, то все не вычеркнутые числа тоже простые. Если n ₁ оказалось составным, а n _i – простое, то все стоящие за n _i числа остальные простые.