Вопросы к гос.экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы .

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij О R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t (1) t (2) …t (n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t ^--1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1. Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=е sgn(t )a _{1t (1)} a _{2t (2)} …a _{nt (n) ,} A=(a _ij ) _n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1 . |A|=|A ^t |,где А ^t -трансионированная;

2 . Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3 . Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4 . Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5 . Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6 . Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее определитель.

7 . Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a ₁ +...a _k b1+...b _k c ₁ +....c _k ),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8 . Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента a _ij (M _ij ) и его алгебраического дополнения (A _ij ) .

Минором M _ij элемента a _ij матрицы называется определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента a _ij называется число (-1) ^i+j М _ij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a _1j A _1j +a _2j A _2j +....+a _nj A _nj или

|A|=a _i1 A _i1 +a _i2 A _i2 +...+a _in A _in .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a ₁₁ …a _1n

|A|= a ₂₁ …a _2n = a _nn M _nn

0……a _nn

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=е sgn(t )a _{1t (1)} a _{2 t (2)} …a _{n-1,t (n-1)} a _{nt (n)}

Так как в n-ой строке все элементы кроме a _nn нули, то все слагаемые в определителе кроме a _nn равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn(t ) a _{1t (1)} a _{2 t (2)} ....a _{n-1,t (n-1)} a _{n n} =a _{n n} ( sgn(t ’) a _{1t (1)} a _{2 t (2)} ...a _{n-1,t (n-1)} ),где

t = 1 2 ... n-1 n t ’ = 1 2 ... n-1

t ₍₁₎ t ₍₂₎ ... _{t (n-1)} t _(n) , t ₍₁₎ t ₍₂₎ ... t _(n) , т.к

t = 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

t ₍₁₎ t ₍₂₎ ... t _(n-1) t _{(n )} t ₍₁₎ t ₍₂₎ ... t _(n) ,то sgn (t ) =sgn(t ’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=a _nn M _nn , что и требовалось доказать.

Случай 2.

a ₁₁ ... a _1j .. a _1n

|A|= ................................. = a _ij A _ij

0 ... a _ij ... 0

..................................

a _n1 ... a _nj ... a _nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A _{11 ...} a _1j ... a _1n a ₁₁ .. a _1j ..a _1n a ₁₁ .. a _1n .. a _1j

A = ....................... = ^n-i .................... = ^{n-i n-j} .................... =

0 .. a _ij ... 0 a _n1 .. a _nj ..a _nn a _n1 .. a _nn ..a _nj

a _{n1 ..} a _nj ... a _nn 0 .. a _ij .. 0 0 .. 0 .. a _ij

= ^2n- M _ij *a _ij = ^i+j a _ij M _ij =a _ij A _ij

Случай 3. |A|=a _1i A _1i +a _2i A _2i +....+a _ni A _ni.

A _{11 ..} a _1j .. a _nn ... a _1j +0+..+0 ... .. a _1j .. .. 0 .. ... 0

A ₂₁ .. a _2j .. a _2n ... 0 +a _2j +..+0 .. .. 0 .. .. a _2j .. ... 0

A = ..................... = ......................... = ......... + .......... +..+ ....... =

a _n1 .. a _nj .. a _nn ... 0+0+..+a _nj ... .. 0 .. .. 0 .. ...a _nj

= a _1j A _1j +a _2j A _2j +..+a _nj A _nj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система е a _ij x _j =b _i , где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

x _i = , где = A ,

D x _i -определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) е a _ij x _j =b _j , i=j=1,n, |A| № 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

---

X ₁ b ₁

X= X ₂ , b = b ₂

.. ..

x _n b _n

---

Если |A| № 0® $ А ^-1 Ю А ^-1 АХ=А ^-1 b Ю X=A ^-1 b. Известна теорема утверждающая, что A ^-1 = A ^* , где A ^* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A ₁₁ A ₂₁ .. A _n1 b ₁ b ₁ A ₁₁ +b ₂ A ₂₂ +..+b _n A _n1

---

X= A ^* b = A ₁₂ A ₂₂ .. A _n2 b ₂ = b ₁ A ₁₂ +b ₂ A ₂₂ +..+b _n A _n2 =

........................ ... ...................................

A _1n A _2n .. A _nn b _n b ₁ A _1n +b ₂ A _2n +..+b _n A _nn

x ₁

= x ₂ ,

......

x _n

---

что и позволит получить формулу: X _i = , где = A , i=1,n

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aО A, bО B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W={ ( a,b) /,a,bО A} ; aWb, a,bО A; ( a,b) О W,где a,bО A

Например, бинарные отношения являются:

1. "^ "на множестве прямых.

2. "=" на множестве чисел.

3. " @ " изоморфизм на множестве алгебр.

4. " ~ " эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: " aО A, aWa;

2) симметричность: " a,bО A, aWbЮ bWa;

3) транзитивность: " a,b,c О A,aWb и bWcЮ aWc

4) связность: " a,bО A,aWbЮ bWa;

5) антирефлексивность: " aО A,( a,a) П W;

6) антисимметричность: " a,bО A,aWb,bWaЮ a=b

В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают

классификацию, которую представим схемой:

Бинарное

отношение

функциональность эквивалентность: порядок:

" xО A, $ ! yО A: рефлексивность, антисимметричность,

f:x® y cимметричность, транзитивность

транзитивность

строгий порядок: нестрогий порядок:

антирефлексивность рефлексивность

частичный порядок: полный порядок:

не обладает свойством обладает связностью

связности

Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WМ A*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A№ 0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

K _a ={ x/xWa /x,aО A} a-образующий элемент класса.

свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A№ 0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

a-образующий элемент класса.

Классы эквивалентности обладают свойствами:

1. " aО A попадает в какой-либо класс, что означает, что K _{a№ 0} . Это утверждение следует из введенного определения класса.

2. Любые два элемента из класса находятся в отношении, т.е. если b,cО K _a , b w c.

c,bО K _aЮ a w c, Ю c w a , Ю c w b

a w b a w b

Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.

3° . Классы не пересекаются, т.е. КаЗ Кb=Ж

Пусть КаЗ Кb№ Ж ® $ сО КаЗ КbЮ сО Ка,сО КbЮ сWа,cWbЮ аWс,сWbЮ аWbЮ Ка=Кb.

Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A,W-эквивалентности Ю Ka ,Kb ,...Ю

a) классы-подмножества A;

b) классы-неизвестного подмножества;

c) классы-не пересекающиеся;

d) И Ka =A , аО А

Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 3. Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .

Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.

Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: "принадлежность одному подмножеству", то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.

Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактор-множеством . Итак, A/w= { Ka /a О A } .

Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:

1. Hа множестве дробей {a/b, аО Z, bО N} зададим отношение "=": а/b=с/dЫ ad=bс.

Тогда класс эквивалентности Ка/b={x/y| x/y=a/b}-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.

2. Z, “є ”: aє b(mod m)Ы (a-b)M m, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.

3. Ф-множество фигур, " ~ "-подобие. Это отношение рождает понятие "форма фигуры" как класса подобных фигур.

Вопрос 5 . Элементы теории групп .

Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них – группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.

Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A,V>,где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.

Опр. 2. Пусть дано множество A№ Ж . Алгебраическая операция “o ” на множестве А называется отображение f: А® А, т.е. для " a,bО A, ($ ! ) cО A:ao b=c

Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o > с одной алгебраической операцией “ o ”,

удовлетворяющей свойствам (аксиомам):

1° ." a,b,cО G, ao (bo c)=(ao b)o c,

2° .$ eG," aО G: eo a=ao e=a.

3° ." aО G, $ a° О G:ao a° =a° o a=e.

e-нейтральный элемент относительно операции;

а° -симметричный относительно операции для а.

Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию.

Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.

Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еО G, $ e ₁ ,e ₂ -нейтральный (единственный), рассмотрим

(1):e ₁ e=ee ₁ =e.

(2): e ₂ e=ee ₂ , откуда получим:

e ₁ =e ₁ e=e ₁ ee ₂ =ee ₂ =e ₂ , т.е. e ₁ =e _2.

2. Пусть для aО G, $ a ₁ ^-1 , a ₂ ^-1 -обратный для а.

Рассмотрим (1): a ₁ ^-1 a=aa ₁ ^-1 =e

(2): a ₂ ^-1 a=aa ₂ ^-1 =e , откуда получим:

a ₁ ^-1 aa ₂ ^-1 =ea ₂ ^-1 =a ₂ ^-1 ,

a ₁ ^-1 aa ₂ ^-1 =a ₁ ^-1 e=a ₁ ^-1 Ю a ₂ ^-1 =a ₁ ^-1 .

3. ax=b; aО GЮ $ a ^-1 : aa ^-1 =a ^-1 a=e. Домножим уравнение на a ^-1 :

a ^-1 ax=a ^-1 bЮ ex=a ^-1 bЮ x=a ^-1 b.

Пусть уравнение имеет два решения x ₁ , x ₂ :

ax ₁ =b, ax ₂ =b-равенства, домножим на а ^-1 :

x ₁ =a ^-1 b, x ₂ =a ^-1 b.

В силу алгебраичности операции x ₁ =x ₂ , что и требовалось доказать.

Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.

Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .

Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1° ." a,bО K, ab,baО K.

2° ." aО K, a ^-1О K.

Ю G-группа, K М G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1° ,2° выполнены.

Ь G-группа, K М G, 1° , 2° . Покажем, что K p G, т. е. К-группа.

Для доказательства необходимо проверить четыре условия:

1. Замкнутость К относительно групповой операции.
2. Ассоциативность этой операции.
3. Существование нейтрального элемента.
4. Существование для каждого элемента обратного.

Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КМ G. Проверим 3:

Т. к. " aО K, $ a ^-1О K ,условие 1° , то аa ^-1 О К. Но аa ^-1 = е, следовательно, еО К, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).

Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.

Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:

aє b(mod K)Ы ab ^{-1 О} K. Проверим, что отношение “є ”-является эквивалентностью.

1).]aО GЮ $ a ^-1 G, aa ^-1 =e, eО KЮ aa ^-1О KЮ aє a(mod K)Ю ”є ”-рефлексивно.

2).]aє b(mod K)Ю ab ^-1О K, (a-b ^-1 ) ^-1О KЮ ba ^-1О KЮ bє a(mod K)Ю ”є ”-симметрично.

3).]aє b(mod K), bє c(mod K)Ю ab ^-1О K, bc ^-1О KЮ (ab ^-1 )(bc ^-1 )О KЮ ac ^-1О KЮ

aє c(mod K)Ю ”є ”-транзитивно.

Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g О G, gЇ и покажем, что gЇ=Kg={hg| hО K, gО G}

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.

{Kg| gО G}=G/”є ”-фактор-множество.

Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:

“aє b(mod K)Ы b ^-1 aО K”.

Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем И Кg=G и И gK=G, a {Kg/gО G} и {gK/gО G}-образуют фактор-множества.

Возможен случай, когда для " gО G, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.

Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg ₁ Hg ₂ =Hg ₁ g ₂ . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если

a, a'О Hg ₁ , b,b'О Hg ₂ , то abє a'b'(mod H), т.е. ab, a'b'О Hg ₁ g _2.

ab=(h ₁ g ₁ )(h ₂ g ₂ )=h ₁ h ₂ g ₁ g ₂ =hg ₁ g _2Ю abО Hg ₁ g ₂ ;

a'b'=(h ₁ 'g ₁ )(h ₂ 'g ₂ )=h ₁ 'h ₂ 'g1g2=h'g ₁ g _2Ю a'b'О Hg ₁ g ₂ , следовательно

ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.

Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.

Т. к. G, H p G-нормальная, {Hg/g G}=G/”є ” . Зададим операцию: Hg ₁ Hg ₂ =Hg ₁ g ₂ . Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.

1° .Hg ₁ (Hg ₂ Hg ₃ )=Hg ₁ (Hg ₂ g ₃ )=Hg ₁ (g ₂ g ₃ )=H(g ₁ g ₂ )g ₃ =Hg ₁ g ₂ Hg ₃ =(Hg ₁ Hg ₂ )Hg _3Ю операция ассоциативная.

2. Hg=He=H " Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.

3.Hg, Hg ^-1 : HgHg ^-1 =Hgg ^-1 =He=H;

Hg ^-1 Hg=Hg ^-1 g=He=H, семейство класса Hg ^-1 выполняет роль обратного для Hg,

т.е. (Hg) ^-1 =Hg ^-1 .

так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.

---

Вопрос 6 Элементы теории колец.

В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.

Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.

Опр.1

Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств <A,U>, где А 0

множество элементов любой природы, а U-множество операций.

Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.

Опр.2

Кольцом называется алгебра < K,+, > с двумя бинарными операциями, которые

удовлетворяют следующим свойствам:

1. < K, +> - аддитивная абелева группа,

2. “ ,, - ассоциативно,

1. Имеет место два дистрибутивных закона, то есть а,в,с

К , а(в+с)=ва+са.

Кольцо как алгебра допускает классификацию, представим её схемой:

Кольцо

С единицей, т.е.		Без единицы
Коммутативны т.е.		Не коммутативны

С делителями нуля, т.е.		Без делителей нуля.

Замечание: Определение всех классов колец предоставляется сформулировать читателю.

Опр.3

Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называеться областью

целостности.

Примером области челосности является кольцо Z , колцо многочленов от одной переменной K , где К- область челостности.

Так как кольцо это алгебра, а алгебра это множество, то есть смысл говорить о его

подмножествах, среди которых особый интерес представляют подкольца.

Опр.4

Подмножество I кольца К называется его подкольцом, если оно само является

кольцом относительно операции кольца К .

Для проверки является ли рассматриваемое подмножество кольца К его подкольцом удобно пользоваться критерием подкольца.

Теорема 5.

(критерий подкольца) Подмножество I кольца К является подкольцом

тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения , т.е. если (1)

(2)

• Ь Пусть (где “

,,- “ быть подкольцом ,,) .Покажем что (1) и (2) имеют место.

Так как , то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для , поэтому следовательно (1) выполнено. Выполнимость (2) вытекает из того что I замкнуто относительно умножения.

• Пусть

, (1),(2) – выполнены. Покажем, что I – подкольцо, т.е. что I – кольцо.

Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из (2) следует, что I – замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того,что .

Рассмотрим условие (1). Пусть ,но , , ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I , следовательно, I – кольцо. Так как , то это подкольцо.

Интересен случай подкольца, когда оно является идеалом. Введём это понятие.

Опр. 6

Подкольцо I кольца K называется идеалом если для

В кольце с существует особый идеал: Такой идеал называется главным идеалом. Главный идеал является наименьшим подкольцом, образованным

Пусть К является областью целостности. Зададим на нём отношение “сравнения по идеалу I ”.

Опр.7

. Легко проверить, что “ “ – отношение эквивалентности:

1 ⁰ .т.к .а-а=0О I, то отношение рефлексивно

2 ⁰ . Если а є в( mod I) Ю а-вО I Ю в-аО I Ю в є а( mod I) Ю отношение симметрично

3 ⁰ .Если а є в( mod I) , в є c( mod I) Ю а-вО I, в-сО I Ю (а-в)+(в-с)= а-сО I Ю

а є c( mod I) Ю отношение транзитивно.

Как известно, отношение эквивалентности задаёт разбиение.

К _а - класс эквивалентности по отношению сравнения по идеалу, называется классом вычетов. Классы вычетов обладают всеми свойствами классов эквивалентности, т.е.

1. классы эквивалентности не пустые,
2. классы не пересекаются,
3. классы состоят из элементов кольца, связанные заданным отношением
4. каждый элемент из K входит в один из классов
5. объединение классов вычетов совпадает с кольцом.

Множество классов вычетов { К _а /а К } называется фактор-множество.

Имеет место теорема о фактор-множестве.

Теорема 8

Фактор-множество с операциями сложения и умножения классов вычетов

является кольцом.

Для доказательства выполним следующие процедуры:

1. зададим операции и проверим их корректность;
2. операции подчиняются аксиоматике кольца.

n 1). К _а +К _в =К _а+в , К _а К _в =К _ав

К _а , К _в покажем, что а+в

К _а , а+в К _а+в , К _{в ав}

Покажем, что К _{а+в ,} К _ав

Если и

_а+в

_ав

что доказывает, что введённые операции корректны, т.е. являются алгебраическими.

2). К _а +(К _в +К _с )=К _а +К _в+с =К _а+(в+с) =К _(а+в)+с =К _(а+в) +К _с =(К _а +К _в )+К _с сложение ссоциативно

К _а +К _в =К _а+в =К _в+а =К _в +К _а сложение коммутативно;

К _а +К ₀ =К _а+0 =К _а К ₀ =I идеал выполняет роль нулевого элемента относительно сложения;

К _а +К _(-а) = К _а+(-а) = К ₀ = I К _(-а) = -К _а –противоположные классы

К _а ^. (К _в ^. К _с ) = К _а ^. К _вс =К _а(вс) =К _(ав)с =К _ав ^. К _с = (К _а ^. К _в ) ^. К _с

К _а ^. (К _в +К _с ) = К _а К _в+с = К _а(в+с) = К _ав+ас = К _ав +К _ас

Всё рассмотренное доказывает выполнимость аксиоматики кольца, поэтому - кольцо. Оно обозначается и называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I .

Кроме отношения сравнения по идеалу I в кольце рассматривается ещё отношение-

“ отношение делимости “. Рассмотрим его.

Опр. 7

Элемент называется делящимся на элемент в кольце К, если существует

такое , что а=вс. а – называется делимое, в –делитель, с –частное. И обозначается “ M ,,

Отношение делимости позволит ввести ещё одно отношение – ассоциативности элементов - “ ~ ,, а ~в аM в / вM а.

Элемент называется обратимым в К если для него существует такое, что

ав =1. Элементы а и в называют так же делителями единицы.

Отношение делимости обладает рядом свойств, оно является нестрогим числовым порядком, т.е.

1 ⁰ “ M ,, - рефлексивно : а 0, аM а.

2 ⁰ “ M ,, - антисимметрично : аM в, вM а Ю а = в.

3 ⁰ “ M ,, - транзитивно : аM в, вM с, то аM с.

4 ⁰ а,вM с Ю а+вM с, авM с.

5 ⁰ а ₁ ,а ₂ , .... ,а _n , a _I M c Ю а ₁ ,а ₂ , ... ,а _{n M} с . и ряд других свойств.

Отношение “ ~ “ является отношением эквивалентности.

1 ⁰ M а Ю а ~ а.

2 ⁰ а ~в Ю аM в, вM аЮ в ~а.

3 ⁰ а ~в, в~с Ю аM в, вM с Ю аM с _Ю c~a Ю a ~c

вM a, сM в Ю сM в ,в M а Ю сM а

Вопрос 7 Гомоморфизм колец

В вопросе ставиться проблема взаимосвязи алгебр на примере колец, которые описываются гомоморфизмом. Предлогаеться решить проблему взаимосвязи кольца, фактор-кольца с другим кольцом, которая задаётся теоремой об эпиморфизме колец. Предварительно введём ряд понятий. Прежде всего, сформулируем определение алгебры и гомоморфизма алгебры.

Опр.1

Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств <A,U>, где А 0

множество элементов любой природы, а U-множество операций.

Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.

Опр.2

Гомоморфизмом алгебр называется отображение одной из них в другое, сохра -

няющее операции, т.е. если А , В – алгебры , с U, W – множествами опреаций, f – гомоморфизм А в В , то ▲ U, существует ■ W.

Гомоморфизм алгебр допускает классификацию:

Свойства f	Гомоморфизм	Мономорфизм	Эпиморфизм	Изоморфизм
1.Сохранение операций
2.x 1 y 1Ю f (x 1 ) f (y 1 )
Все св-ва 1 - 3

Сформулировать определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма предоставляется читателю.

Рассмотрим гомоморфизм колец.

Опр.3

Гомоморфизмом кольца <K, +, > в < > называют отображение f :

Сохраняющее операции, т.е. f(а+в)=f(а)Е f(в) ; f(ав)=f(а)Д f(в).

Опр.4

Ядром гомоморфизма f : называется множество элементов из К, образы

которых равны нулю кольца К, т.е. Ker f =

Теорема 5

Ker f кольца К в является идеалом К

• а,в О Ker f Ю f(a)=0ў О Kў , f(в)=0ў О Kў ; кО K

f(a-в)=f(а+(-в))=f(а)+f(-в)=f(а)-f(в)=0ў - 0ў =0ў О K Ю а-в О Ker f

f(ак)=f(а) f(к)=0ў f(к)=0ў О Кў Ю акО Ker f

f(ка)=f(к) f(а)= f(к) 0ў =0ў О Кў Ю каО Ker f , что и доказывает, что Ker f кольцо К в К ў является идеалом К

Имея К и идеал его I , можно задать отношение сравнения по идеалу. Известно, что это отношение является эквивалентностью поэтому задано разбиение, а следовательно, фоктор - кольца. Рассмотрим отображение Е : К® К /I, где Е(x)=K _x

Покажем что Е – гомоморфизм ( эпиморфизм ).

E(x+y)=K _x+y =K _x +K _y =E(x)+E(y); E(xy)=K _xy =K _x K _y =E(x)E(y).

" K _x О K / I ;$ xО K, E(x)=K _{x .} Это позволяет утверждать что Е - эпиморфизм _.

Теорема 6

Если f: K® Kў эпиморфизм, то существует изоморфизм K / Ker f на Kў такой,

что эпиморфизм f равен композиции Е и изоморфизма.

• Для доказательства теоремы предварительно рассмотрим и зафиксируем условие теоремы.

К, Кў - кольца , f: K® Kў , f(x)=xў -эпиморфизм, тогда f обладает ядром Ker f , которое является идеалом K . Становиться возможным К фиксировать по Ker f = I , получаем фактор –кольцо К / Ker f. Рассмотрим Е: К® Ker f , где E(x)=Kx –эпиморфизм. Теперь можно приступать к доказательству теоремы, которое предполагает выполнение процедур по плану:

1. покажем что для x,yО K _x , f (x)= f (y),
2. зададим отображение Y : K /Ker f ® Kў так :Y ( K _x )= f (x),
3. проверим, что Y - гомоморфизм,

Y - эпиморфизм,

Y - мономорфизм.

4. f = Y ° E .

Итак, покажем, что для x,yО K _x , f (x)= f (y). Пусть f (x)№ f (y) Ю f (x)- f (y)№ 0ў Ю f (x-y)№ 0ў ® x-y П Ker f Ю x y(mod Ker f )Ю xП K _x Ъ yП K _y ,что противоречит условию. Поэтому утверждение верно. Изобразим условие теоремы и результат доказанного схемой

K

· x f f(x) Kў

· y

Y

Ker f 0ў

E Kx

0ў ў K¤ Ker f

Зададим отображение Y : К/ker f® K’ , Y (Kx)=f(x).

Y (Kx+Ky)=Y (Kx+y)=f(x+y)=f(x)+f(y)=Y (Kx)+Y (Ky);

Y (KxKy)=Y (Kxy)=f(xy)=f(x)f(y)=Y (Kx)Y (Ky), т. е. Y -гомоморфизм.

Кх№ КуЮ Y (Кх)№ Y (Ку).Пусть это не так, пусть Y (Кх)=Y (Ку)Ю f(х)=f(у)Ю х и у из одного класса,что противоречит условию; т.е.Y - мономорфизм. хў О Кў ; т.к. f- эпиморфизм, то$ хО К, f(х)=хў , тогда $ Кх О К(ker f : E(х)=Кх, а Y (Кх)=хў , что позволяет утвердждать: Y - эпиморфизм

Итак , Y -изоморфизм К/ker f и Кў .

Пусть Y оЕ(х) ;Y оЕ(х)=Y (Е(х))=Y (Кх)=f(х)Ю Y оЕ=f

Вопрос 8 . Делимость в кольце целых чисел (Z )

В вопросе ставится проблема отношения делимости в кольце целых чисел и возможное его приложение для нахождения НОД и НОК целых чисел.

Опр.1.

Число а О Z называется делящимся на число в№ оО Z , если существует такое число с, что а=вс,

а называют в этом случае делимым, в – делителем, с – частным. Обозначают отношение І ”.

Отношение делимости на Z обладает рядом свойств:

1° " а№ 0, аM а, | Доказательство:

2° " а№ 0, в№ 0, а:M в, вM аЮ а=в, | а№ 0 Ю а=аЧ 1Ю аM а;

3° " а,в,с, а:в и вM сЮ аM с | аM вЮ а=вс

Истинность названных трех | вM аЮ в=аd } Ю а=а(dс)Ю аЧ 1=а(dс)Ю

Свойств позволяют утверждать, | а(1-dс)=0Ю 1-dс=0Ю dс=1 (нет делителей редко)Ю

Что отношение делимости |d и с делением 1, т.е.равны 1 или (-1)

является нестрогим частичным | аM вЮ а=вк } Ю а=с(mк)Ю аM с

порядком. | вM сЮ в=сm}

4° а:в ,сM вЮ а+вM с, авM с

5° асM вс, с№ 0Ю аM в и ряд других

Убедимся в том, что отношение делимости не обладает свойством связности , т.е. является частичным. Это легко проверить примером: 4: /5. Потому естественным образом возникает проблема деления целого числа на другое не равное нулю. Такая ситуация описывается теоремой о делении с остатком.

Т 2.

" а,в№ 0, Z (!)gч такие, что а=вg+ч, где 0Ј ч< в

Теорема содержит в себе две: о существовании и о единств.

Рассмотрим ихдоказательства.

Случай 1. аі 0.Проведем доказательство методом матиндукции.

а=0 Ю 0=в0+0, где видно , что g=0, r=0О Z

а=п Ю и пусть теорема для п верна, т.е.

(1) п=вg+r, 0Ј r , 0< в

а=п+1Ю прибавим к обеим частям равенства (1) по 1, получим:

п+1=вg+(r+1). Исследуем (r+1).Если r+1< в, то теорема верна для п+1, если r+1=в,то

п+1=в(g+1)+0 и теорема вновь верна. На основании принципа матиндукции можно утверждать,что теорема верна для любого целого числа аі 0.

Случай 2. а< 0, тогда -а> 0 и теорема для этого числа верна, т.е.-а=вg+r 0Ю r< в.

Поступим так:

А=в(-g)+(-r), прибавим к левой части и вычтем в, получим а=в(-g)-в+в+(-r)Ю a=b(-1-g)+

(b-r), где –1-gО Z , в-r < в, при r> 0, т.е. теорема верна.

(!) Пусть для а,в> 0О Z существует два варианта:

а=вg1+r1, а=вg2+r2, где 0Ј r1,r2< в.

Заметим, что g1=g2Ы r1=r2.

Действительно, если r1=r2Ю r1-r2=в(g2-g1)=0, в№ 0Ю g2-g1=0Ю

G1=g2, g1=g2Ю g2-g1=0Ю r1-r2=0Ю r1=r2.

Поэтому рассмотрим случай, когда r1№ r2, тогда вg1+r1=вg2+r2Ю r1-r2=в(g2-g1).

Так как 0 Ј rЈ b, 0Ј r2< b, то r1-r2< b. С другой стороны к b(g2-g1)к = к bк к g2-g1к > g1№ g2> b,

Т.е. R1-r2> b, что привело к противоречнию. Теорема доказана.

Рассмотрим возможное применение отношения делимости и отношения с остатком для введения

и способа вычисления НОД и НОК двух целых (натуральных) чисел. Введем определение

НОД и НОК.

Опр.3 Наибольшим общим делителем двух целых чисел а и в называется такой

Их общий делитель, который делится на всякий другой их общий делитель.

Опр.4. Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется такое их

общее кратное , на которое делится всякое другое их общее кратное.

НОД и НОК двух чисел и большего числа можно находить способом разложения на

простые множители. Здесь рассмотрим другие способы в частности, алгоритм

Евклида.

Алгоритм Евклида представляет собой конечный процесс деления одного числа

на другое, затем второго числа на первый остаток, затем первый остаток

деления на второй и так до тех пор, пока деление завершится без остатков.

Это считается возможным, потому что остатки будут неотрицательным числом,

убывают, что бесконечным быть не может.

Оформим этот процесс математически:

а= bg1+r1, 0< r1< b,

b=r1g2+r2, 0 < r2< r1,

…………..

rk-2=rk-1gk+rk, 0< rk< rk-1

rk-1=rkgk+1 rk+1=0

и докажем теорему о нахождении НОД чисел. Заметим, что НОД чисел обозначаем так:

НОД (а;в), или просто (а,в)

Теорема 5

Последний, отличный от нуля, остаток в алгебре Евклида является НОД (а;в).

Для доказательства требуется предварительно рассмотреть две леммы:

Лемма 1: а=вg+r, то (а,в)=(в,r)

(a,b)=d® aM d1bM dЮ a-bgM dЮ rM dЮ d – общий делитель в и r,

т.е., если (в,r)=d1,то d1M d (1)

(в,r)=d1® bM d1, rM d1Ю aM d1Ю d1общий делитель a и b,Ю dM d1 (2)

Из (1) и (2) следует, что d=d1

Лемма 2: аM вЮ (а,в)=в

Теперь допишем теорему. Из последнего равенства в алгоритме Евклида следует, что

(rk-1,rk)=rk. А из предпоследнего, по лемме, следует, что (rk-2,rk-1)=(rk-1,rk)=rk

Поднимаясь от равенства к равенству в алгоритме Евклида получим (а,в)=,rk

Что и требовалось доказать.

Решим вопрос о нахождении НОК (а,в).Обозначим НОК (а,в)=m

И докажем теорему

Теорема 6 m=ab/(a,d). Для доказетельства воспользуемся определением НОК.

Напишем, что ав/(а,в) делится на а и на в.

(а,в)=Ю a=a1d, тогда ab/(ab)=a1db1d/d(a1b1)=ab1=a1b, что и доказывает утверждение.

………..b=b1d

………..(a1,b1)=1

Покажем, что любое кратное чисел а и в делится на m.Пусть М общее кратное а и вЮ

М=ак, М=вmЮ M=abs=absd/d=ab/(a,b)sdЮ

M:ab/(a,b), что и требовалось доказать. Используя определение НОК (а,в) можно

Сделать вывод, что m=ab/(a1b)

Вопрос 9 Элементы теории сравнения с кольце Z

В вопросе решается проблемы возможности задания бинарного отношения

”cравнение по модулю m” в кольце целых чисел, его свойств, среди которых построение

новых алгебр из Z .

Пусть Z -кольцо целых чисел, m О Z , m > 1

Опр.1 Числа а и в называются сравнимыми по модулю m, если а-в:m.

Записывается: а=в(modm).

Легко показать, что введенное бинарное отношение на Z является отношением эквивалентности, т.е.

обладает свойствами рефлексивности ,симметричности ,транзитивности.

Действительно:

1° a-a=0О Z , 0:mЮ aє a (modm);

2° aє b (modm)Ю a-b:mЮ b-a:mЮ bє a (modm);

3° aє b (modm), bє c (modm)Ю a-b:m,Ю (a-b)+(b-c):mЮ a-c:mЮ

…………………………………aє c (modm)

Это очень важное свойство отношения сравнения,т.к. в таком случае оно задает разбиение

На Z , что рождает фактор – множество К/m=Z m, как множество классов эквивалентности.

Общая теория колец рассматривает эту ситуацию и утверждает, что<Z m,+,x> - кольцо.

Здесь же мы рассмотрим порождение другой алгебры – мультипликативной группы.

Для этого введем понятие взаимной простоты класса и модулем m.

Класс Ка=а называется взаимнопростым с m, если (а,m)=1, где а –образующей класса Ка

Однако в теории классов известно, что таким обьразующим может быть любой элемент из этого

класса).

Рассмотрим множество классов вычетов, каждый из которых взаимно прост с m.

Известно, что количество чисел, взаимно простых с модулем определяет функцию

Эйлера g(m) ,и что остатком от деления целых чисел на m составляют полную систему вычетов

Взаимно простые с m следует искать среди классов Ко,К1,К2,…,Кm-1. Пусть такими

классами будут н r1,r2,…rg(m) э . Такую систему классов называют приведенной

Системой классов вычетов и их представителем приведенной системы вычестов

н r1,r2,…rg(m)э .

В этой системе ровно g(m) элементов, ( ri,m)=1, (ri,m)=1

Теперь докажем теорему о приведенной системе классов вычетов.

Теорема 2. Приведенная система классов вычетов по модулю не образует

мультипликативную группу.

Для доказательства теоремы необходимо проверить существенные признаки мультипликативной группы,

т.е. проверить:

1. замкнутость относительного умножения,
2. ассоциативность умножения,
3. существование единичного элемента,
4. существование для каждого элемента обратного.

Рассмотрим { r1,ri,…rg(m)} ,где (ri,m)=1, напомним ,что riЧ rj=riЧ rj.

(rim)=1Ю

(rj,m)=1

1. (ri,m)=1

……(rj,m)=1 Если предположить, что (riЧ rj,m)№ 1, то это будет означать, что

най р-простое число такое, что riЧ rj:p1Ю m:p

Если ri или rj делятся на р, то нарушаем условие (1).Если ri p, то по известному утверждению,

І aЧ b:p,(a,p)=1Ю b:pІ , следует, ri:p, что также приводит к противоречию (1). И так,

(ri:rj,p)=1Ю

(riЧ rj,p)=1, т.е.rirgО { r1,r2,…rj(m)} , что утверждает с необходимостью замкнутость

очередного умножения. Так как классы вычетов riО Z m, то умножение

Так как (1,m)=1, то ri=1, т.е. единый класс в рассматриваемом множестве есть.

Пусть аО Z , (а,m)=1, рассмотрим{ ar1,ar2,…arg(m)} .Легко показать, что

Это тоже приведенная система вычетов.Тогда ari=1Ю aЧ ri=1, т.е. для ri

Существует класс ему обратный: а=ri-1. Можно существование обратного класса доказать и таким

Способом: a,r2…rg(m)=rj, сократим на ri, получим r1,r2…rj-1,rj+1 rg(m)=1, тогда

(r2…rg(m)=(r1)-1,(r1r3…rg(m)=(r2)-2 и т.д., что подвтерждает факт существования для

каждого класса ri ему обращенного ri-1. Теорема доказана.

Теория сравнения имеет всевозможное применение. В частности, теория сравнения

Используется при выводе признаков делимости. Сформулируем общий признак

Делимости на mО Z , m> 1, который назван признаком Паскаля. В основе этого признака лежит систематическая запись натурального числа в системе с основанием g, т.е.

(a _n a _n-1 …a ₁ a ₀ )g=a _nЧ g ⁿ +a _n-1 g ^n-1 +…a ₁ g ¹ +a0 _g° .

Теорема 3.(Паскаля) Число а=(а _n ,a _n-1 …a1,a0)g делится на mО Z ,m> 1 тогда и только

Тогда, когда на m деления в число: a _n r _m +a _n-1 r _n-1 +…a ₁ r ₁ +a ₀ r ₀ , где r _i остаток

От деления g _i на m.

g° =mg ⁰ +r ₀ , g ¹ =mg ² +r ₁ ,…g ⁿ =mg ⁿ =r _nЮ

g ^0є r ₀ (m ₀ d _m ),g1є r ₁ (m ₀ d ₀ ),…,g ^nє rn(m ₀ d ₀ ). Используя свойства сравнения легко получаем,

что a _n g ⁿ +…+a ₀ g ^0є a _n r _n +…+a ₀ r ₀ (m ₀ d ₀ ). Воспользуемся определение сравнения, мы получаем истинность теоремы.

Общий признак позволяет вывести частный признак.

Выведем признак делимости на 3 и на 5, если число записано в десятичной

Системе исчисления.

1. m=3, g=10,тогда 10° =1є 1(mod3),

10є 1 (mod3), используем лемму, можно утверждать, что остатки r _i =1, по

по признаку Паскаля

(a _n a _n-1 …a ₀ )10є a _n +…a ₀ (mod3), откуда можно сфоормулировать признак

делимости на 3:

“Число делится на 3 тогда и только тогда, когла сумма его цифр в

десятичной делится на 3”.

Пусть b О Р(a ), т.к. Р(a ) = Р[ a ] , то b = а _Sa ^s +···+a _1a + a ₀ , где f(х) = а _S х ^s +···+a ₁ х + a _0О Р[ х] , f(a ) = b . Пусть g(х) – линейный элемент для a , т.е. g(х) = b _n х ⁿ + ···+ b ₁ х + b ₀ . Разделим f(х) на g(х) :

1. f(х) = g(х) g ₁ (х) + r(х), 0Ј deg r(х) < n, т.е. r(х) = с ₀ + с ₁ х +···+ с _n-1 х ^n-1 . (с _iО р).

положим х = a в (1), получим f(a ) = g(a ) g ₁ (a ) + r(a ), т.к. g(a ) = 0, то f(a ) = r(a ), т.е. b = с ₀ + с _1a +···+ с _n-1a ^n-1 . Получили, что такое представление однозначное.

Пусть b = с ₀ + с _1a +···+ с _n-1a ^n-1 и b = d ₀ + d _1a +···+ d _n-1a ^n-1 .

Рассмотрим многочлен φ(х) = (с ₀ - d ₀ ) + (с ₁ - d ₁ )х + ∙∙∙ + (с _n-1 - d _n-1 )х ^n-1 , причем φ(a ) = 0, т.е. получился многочлен, степени меньше чем n, для которого a является корнем, что противеречит линейности многочлена для a . Если φ(х) существует, то он нулевой, поэтому с _i = d _i , что и доказывает теорему.

Посмотрим как возможно изменить эту теорему для освобождения от алгебраической иррациональности в знаменатели дроби.

Пусть a – алгебраический элемент степени n > 1 не из Р

Пусть f(х), h(х) два многочлена из Р[ х] , h(a ) № 0. Тогда в р(a ) может быть дробь . Возникает проблема представить дробь в виде линейной комбинации

степеней a . Это возможно, так как любой элемент из р(a ) есть линейная комбинация 1, a ,…,a ^n-1 Задача состоит в нахождении алгоритма преобразования.

Пусть g(х) – минимальный многочлен для a степени n. Т.к. h(a ) № 0, то h(х) g(х) ® (h(х), g(х)) = 1 = > uh + vg = 1. Т.к. g(a ) = 0, u (a ) h (a ) = 1 u(a ) = . Следовательно, = f (a )u(a ) , где f(х), u(х) О Р[ х] , а f (a ), u(a )О Р[ a ] . Таким образом удалось освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, а сделать это можно так:

рассмотрим h(х) и g(х) – минимальные a , если a

1. с помощью алгоритма Евклида подобрать u(х) такой, что h(х) g(х) + v(х) g(х) = 1;
2. найти u(a );

= f (a )u(a )

Вопрос 10. Кольцо многочленов от одной переменной.

Вопрос предполагает решение проблемы построения кольца многочленов как алгебры и решение проблемы о корнях многочлена.

Для построения кольца многочленов как алгебры напомним определение алгебры.

Определение 1. Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где множество элементов любой природы, а V – множество операций.

Одной из алгебр является кольцо.

Определение 2. Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями – сложение и умножение -, удовлетворяющих следующим свойствам:

1. < K, +> - аддитивная абелева группа;
2. “ ґ ”- ассоциативная операция;
3. Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом.

Для построения кольца многочленов зададим кольцо К и введем понятие многочлена.

Определение 3. Многочленом f(x) называется сумма a _n x ⁿ +a _n-1 x ^n-1 +...+a ₁ x+a ₀ , где a _iО K, x – неизвестное, xП K, x ⁰ =1, 1·x= x . a _i называют коэффициентами многочлена, a _n - старшим, a ₀ – свободным членом.

Определение 4. Суммой двух многочленов и называется многочлен h(x)=f(x)+g(x) , h(x)=c _k x ^k +...+c _{0 ,} где c _i =a _i +b _i . Определение 5. Произведением двух многочленов и называется многочлен , где .

Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через K[x] и рассмотрим алгебру <K[x], +, ґ > . Докажем теорему о том, что эта алгебра является кольцом.