Виды тригонометрических уравнений.

Пример 1. 2sin(3x - p /4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p /4).

sin(3x - p /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

3х - p /4 = (-1) ⁿ arcsin 1/2 + n p , n Î Z.

Зх - p /4 = (-1) ⁿ p /6 + n p , n Î Z; 3x = (-1) ⁿ p /6 + p /4 + n p , n Î Z;

x = (-1) ⁿ p /18 + p /12 + n p /3, n Î Z

Если k = 2n (четное), то х = p /18 + p /12 + 2 p n/3, n Î Z.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p /18 + p /12 + ((2 p n + 1) p )/3 =

= p /36 + p /3 + 2 p n/3 = 13 p /36 + 2 p n/3, n Î z.

Ответ: х 1 = 5 p /6 + 2 p n/3,n Î Z, x 2 = 13 p /36 + 2 p n/3, n Î Z,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, n Î Z; x, = 65° + 120° · n, n Î Z.

Пример 2. sinx + Ö з cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Ö з значение ctg p /6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg p /6 cosx = 1; sinx + (cos p /6)/sin p /6 · cosx = 1;

sinx sin p /6 + cos p /6 cosx = sin p /6; cos(x - p /6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p /6 = ± arccos 1/2 + 2 p n, n Î Z; x = ± p /3 + p /6 + 2 p n, n Î Z;

x1 = p /3 + p /6 + 2 p n, n Î Z; x1 = p /2 + 2 p n, n Î Z;

x2 = - p /3 + p /6 + 2 p n, n Î Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n Î Z;

Ответ: x1 = p /2 + 2 p n, n Î Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n Î Z.

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = p n, n Î Z, x2 = p /4 + p n/2, n Î Z.

Ответ: x1 = p n, n Î Z, x2 = p /4 + p n/2, n Î Z.

Пример 1. sinx + tgx = sin ² x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p /2 + p n, n Î Z.

sinx + sinx/cosx = sin ² x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin ² x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = p n, n Î Z; cosx - cos( p /2 - x) = -1; 2sin p /4 · sin( p /4 - x) = -1;

Ö 2 · sin( p /4 - x) = -1; sin( p /4 -x) = -1/ Ö 2; p /4 - x = (-1) ⁿ⁺¹ arcsin 1/ Ö 2 + p n, n Î Z;

x2 = p /4 - (-1) ⁿ⁺¹ · p /4 - p n, n Î Z; x2 = p /4 + (-1) ⁿ · p /4 + p n, n Î Z.

Если n = 2n (четное), то x = p /2 + p n, если n = 2n + l (нечетное), то x = p n.

Ответ: x1 = p n, n Î Z; x2 = p /4 + (-I) ⁿ · p /4 + p n, n Î Z.

Пример 1. 2 sin ² x = 3cosx.

Решение. 2sin ² x - 3cosx = 0; 2 (l - cos ² x) - 3cosx = 0; 2cos ² x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z ² + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; Ö Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p /3 + 2 p n, n Î Z. Ответ: х = ± p /3 + 2 p n, n Î Z.

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin ² x + b sinxcosx + c cos ² x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin ³ x + b sin ² x cosx + c sinx cos ² x + d sin ³ x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin ² x или на cos ² x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ö 3sin ² 2x - 2sin4x + Ö 3cos ² 2x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö 3sin ² 2x - 4sin2xcos2x + Ö 3cos ² 2x = 0.

Разделим на cos ² 2x. Уравнение примет вид Ö 3 tg ² 2x – 4tg2x + Ö 3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö 3z ² - 4z + Ö 3 = 0; Д = 4; Ö Д = 2.

z1 = (4 +2)/2 Ö 3 = 6/2 Ö 3 = Ö 3; z2 = (4 – 2)/2 Ö 3 = 1/ Ö 3

tg2x = Ö 3 или tg2x = 1/ Ö 3

2x = p /3 + p n, n Î Z; 2x = p /6 + p n, n Î Z;

x1 = p /6 + p n/2, n Î Z ; x2 = p /12 + p n/2, n Î z.

Ответ: x1 = p /6 + p n/2, n Î Z ; x2 = p /12 + p n/2, n Î z.

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sin j = 4/5; cos j = 3/5; sin(x+ j ) = 1, x + j = p /2 + 2 p n, n Î Z.

Ответ: x = p /2 - arcsin 4/5 + 2 p n, n Î Z.

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/( Ö 3-tgx) – 1/( Ö 3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ¹ ± Ö 3, х ¹ ± p /8 + p n, n Î Z и х ¹ ± p /2 + p n, n Î Z.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.

( Ö 3 + tgx - Ö 3 + tgx)/3 - tg ² x = 2tgx/ (1 + tg ² x); 2tgx / (3 - tg ² x) = 2tgx/(1 + tg ² x)

x1 = p n, n Î Z

Второе уравнение имеет вид

2tg ² x - 2 = 0; tg ² x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p /4 + p n, n Î Z.

Ответ: x1 = p n, n Î Z; х2 = ± p /4 + p n, n Î Z.

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. Ö ( cos ² x + ½) + Ö ( sin ² x + ½) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos ² x + ½ + 2 Ö (( cos ² x + ½) ( sin ² x + ½)) + sin ² x + ½ = 4

Ö (( cos ² x + ½) ( sin ² x + ½)) = 1; ( cos ² x + ½) ( sin ² x + ½) = 1

( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;

1 – ¼ cos ² 2x = 1; cos2x=0; x = p /4 + p n/2, n Î z

Ответ: x = p /4 + p n/2, n Î z.

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x ² + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x ² +5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х ² + 5х = 6 + p n, n Î Z; х ² + 5х - (6+ p n) = 0, n Î z;

Д = 25 + 4(6 + p n) = 49 + 4 p n, n Î Z; х1,2 = (-5 ± Ö (49 + 4 p n))/2, n Î z

Решение имеет смысл, если 49 + 4 p n > 0, т.е. n ³ -49/4 p ; n ³ -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)