Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j , y = r sin j . (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D S i с помощью координатных линий r = r i (окружности) и j = j i (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

D r j = r j+1 - r j ,

D j i = j i+1 - j i

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями r jD j i и D r j ; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

D S i = r j D j i D r j (3)

Что касается ячеек D S ij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки M ij $ S ij для простоты выберем вершину ячейки D S ij с полярными координатами r j и j i . Тогда декартовые координаты точки M ij равны:

x ij = r j cos j i , y ij = r j sin j i .

И следовательно,

f(x ij ,y ij ) = f(r j cos j i , r j sin j i ) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек D S ij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины j i и r j суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oj r . Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj , r sinj )r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D j i и D r i . Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r 1 (j ), r 1 (j ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a ,b ]. (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,j ) = rf(r cosj , r sinj )

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: j =0,

j =p /4, r cosj =1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами