Поиск репетиторов

Выберите предмет
Все рефераты » Математика » Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
Эффективная подготовка к экзаменам по МатематикеПодобрать репетитора

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях.

Дано:

Для схемы:

U 0 (t)= U 0 =const U 0 =5 В

i 0 (t)=I 0 d 1 (t) I 0 =2 A

    1. Составить уравнения состояния для цепи при t і 0.
    2. Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С 1 и С 4 . Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:

      (1)

      Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:

      (2)

      Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad:

      1.2 Найти точные решения уравнений состояния.

      Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:

      Общий вид точных решений уравнений состояния:

      Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:

      Начальные условия (находятся из схемы):

      Для нахождения постоянных интегрирования A 1 , A 2 , A 3 , A 4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.

      При t=0:

      Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:

      Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:

      При t=0:

      Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:

      Точные решения уравнений состояния:

    3. Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:

Подставляя выражения производных из уравнений состояния:

h – шаг расчета =2*10 -6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий.

1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ)

e (A)t = a 0 + a 1 (A) e (A)t =

(X) = [e (A)t -1][A] -1 [B][V]

1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния.

Часть 2.

Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.

Анализу подлежит следующая цепь:

Параметры импульса: U m =10 В t u =6*10 -5 c

Форма импульса:

2.1 Определить функцию передачи:

воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U 0 (s)=1/s.

Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:

Решаем эту систему:

Таким образом:

Функция передачи:

2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты. Полюсы:

Нули:

Плоскость комплексной частоты:

2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.

Импульсная характеристика:

Выделим постоянную часть в H U (s):

Числитель получившейся дроби:

Упрощенное выражение H U (s):

Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:

Коэффициенты разложения:

Оригинал импульсной характеристики:

Переходная характеристика:

Этим же методом находим оригинал характеристики:

2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.

Изабражение по Лапласу фукции f(t):

Входной импульс представляет собой функцию

Поэтому изображение входного сигнала будет

2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя H U (s).

Изображение выходного сигнала:

Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя:

Для части выражения при ,используя теорему о разложении:

Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении:

Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:

2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы.

Переходная h 1 (t) и импульсная h(t) характеристики.

Входной и выходной сигналы.

Часть 3.

Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.

3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи H U (s).

амплитудно-фазовая характеристика:

амплитудно-частотная характеристика:

фазо-частотная характеристика:

График АЧХ:

График ФЧХ:

3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707 .

Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с -1 .

3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1 .

Амплитудный спектр входного сигнала:

Фазовый спектр входного сигнала:

График амплитудного и фазового спектра входного сигнала:

Ширина спектра с -1 .

3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.

Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*10 4 с -1 , где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис.

3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала.

Получаются по формулам:

3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.

Вещественная характеристика:

Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции.

График вещественной характеристики:

Тогда:

График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2.

Часть 4.

Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.

Дано: T=18*10 -5 c. U m =10 В. t u =6*10 -5 c.

форма сигнала u 0 (t):

4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.

Коэффициенты ряда Фурье для u 0 (t) найдём из следующего соотношения:

где w 1 = 2 p /Т , k=0, 1, 2, ... w 1= 3.491*10 4 с.

Значения A k и a k приведены в табл. ,на рис. , построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u 0 (t).

k

A k

a k

0

0

0

1

2.067

0.524

2

3.308

-0.524

3

2.774

-1.571

4

2.363

-2.618

5

1.034

2.618

6

0

1.571

7

0.413

-2.618

8

0.301

2.618

9

0

1.571

Таким образом, в соответствии с шириной спектра .

4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3.

4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений k w 1 , k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда

k

A k

a k

0

0

0

1

0.208

1.47

2

0.487

-0.026

3

0.436

-1.355

4

0.361

-2.576

5

0.15

2.554

6

0

1.443

7

0.054

-2.785

8

0.037

2.429

9

0

1.371

В итоге получим:




Поиск репетиторов

Выберите предмет